Pour les amateurs de mathématiques : Guide de l'auto-stoppeur du nombre 42

Tout le monde aime les mystères non résolus. Les exemples incluent la disparition d'Amelia Earhart au-dessus du Pacifique en 1937 et l'évasion audacieuse des détenus Frank Morris et John et Clarence Anglin de l'île d'Alcatraz en Californie en 1962. De plus, notre intérêt tient même si le mystère est basé sur une blague. Prenez le roman de science-fiction de 1979 de l’auteur Douglas Adams, The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy, le premier d’une série de cinq. Vers la fin du livre, le supercalculateur Deep Thought révèle que la réponse à la « grande question » de « la vie, l'univers et tout » est « quarante-deux ».

Deep Thought prend 7,5 millions d'années pour calculer la réponse à la question ultime. Les personnages chargés d'obtenir cette réponse sont déçus car ce n'est pas très utile. Pourtant, comme le souligne l'ordinateur, la question elle-même était vaguement formulée. Pour trouver l'énoncé correct de la requête dont la réponse est 42, l'ordinateur devra construire une nouvelle version de lui-même. Cela prendra également du temps. La nouvelle version de l'ordinateur est Earth. Pour savoir ce qui se passe ensuite, vous devrez lire les livres d'Adams.

Pour les amateurs de mathématiques : Guide de l'auto-stoppeur du nombre 42

Le choix du numéro 42 par l’auteur est devenu un incontournable de la culture geek. Il est à l’origine d’une multitude de blagues et de clins d’œil échangés entre initiés. Si, par exemple, vous posez à votre moteur de recherche des variantes de la question « Quelle est la réponse à tout ? » il répondra probablement « 42 ». Essayez-le en français ou en allemand. Vous obtiendrez souvent la même réponse que vous utilisiez Google, Qwant, Wolfram Alpha (spécialisé dans le calcul de problèmes mathématiques) ou l'application Web de chat bot Cleverbot.

Depuis la création de la première école de ce type en France en 2013, il y a eu une prolifération d'institutions privées de formation en informatique dans le « 42 Network », dont le nom est une allusion claire aux romans d'Adams. Aujourd'hui, la société fondatrice compte plus de 15 campus dans son réseau mondial. Le numéro 42 apparaît également sous différentes formes dans le film Spider-Man: Into the Spider-Verse. De nombreuses autres références et allusions à celui-ci peuvent être trouvées, par exemple, dans l'entrée Wikipédia pour « 42 (nombre) ».

Le nombre 42 apparaît également dans toute une série de curieuses coïncidences dont la signification ne vaut probablement pas la peine d'être comprise. Par exemple:

Dans la mythologie égyptienne antique, lors du jugement des âmes, les morts devaient déclarer devant 42 juges qu'ils n'avaient commis aucun des 42 péchés.

La distance marathon de 42 (Le fait que le kilomètre n'ait pas encore été défini à ce moment-là ne fait que rendre la connexion d'autant plus étonnante.)

Le Tibet antique avait 42 dirigeants. Nyatri Tsenpo, qui régna vers 127 av.J.-C., fut le premier. Et Langdarma, qui a régné de 836 à 842 après JC (c'est-à-dire la 42e année du neuvième siècle), était le dernier.

La Bible de Gutenberg, le premier livre imprimé en Europe, compte 42 lignes de texte par colonne et est également appelée « Bible à quarante-deux lignes ».

Selon un article du blog Economist du 6 mars marquant le 42e anniversaire de l'émission radiophonique The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy, qui a précédé le roman, « le 42e anniversaire de quoi que ce soit est rarement observé ».

Un choix purement arbitraire

Une question évidente, qui a effectivement été posée, est de savoir si l’utilisation de 42 dans les livres d’Adams avait une signification particulière pour l’auteur. Sa réponse, publiée dans le groupe de discussion en ligne alt.fan.douglas-adams, était succincte: « C'était une blague. Ce devait être un nombre, un nombre ordinaire et petit, et j'ai choisi celui-là. Les représentations binaires, base treize, les moines tibétains sont tous un non-sens complet. Je me suis assis à mon bureau, j'ai regardé dans le jardin et j'ai pensé que « 42 suffirait ». Je l'ai tapé. Fin de l'histoire. »

Dans le système binaire, ou base 2, 42 s'écrit 101010, ce qui est assez simple et incite d'ailleurs quelques fans à organiser des soirées le 10 octobre 2010 (10/10/10). La référence à la base 13 dans la réponse d’Adams nécessite une explication plus indirecte. Dans un cas, la série suggère que 42 est la réponse à la question « Qu'est-ce que vous obtenez si vous multipliez six par neuf ? » Cette idée semble absurde car 6 x 9 = 54. Mais en base 13, le nombre exprimé par « 42 » est égal à (4 x 13) + 2 = 54.

Outre les allusions à 42 introduites délibérément par des informaticiens pour le plaisir et les rencontres inévitables avec lui qui surgissent lorsque vous fouillez un peu dans l'histoire ou dans le monde, vous pourriez encore vous demander s'il y a quelque chose de spécial dans le nombre d'un point strictement mathématique. de vue.

Mathématiquement unique ?

Le nombre 42 a une gamme de propriétés mathématiques intéressantes. En voici quelques uns:

Le nombre est la somme des trois premières puissances impaires de deux, c'est-à-dire 21 + 23 + 25 = 42. C'est un élément de la séquence a (n), qui est la somme de n puissances impaires de 2 pour n> 0. La séquence correspond à l'entrée A020988 dans The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), créée par le mathématicien Neil Sloane. En base 2, le nième élément peut être spécifié en répétant 10 n fois (1010 … 10). La formule de cette séquence est a (n) = (2/3) (4n – 1). Lorsque n augmente, la densité des nombres tend vers zéro, ce qui signifie que les nombres appartenant à cette liste, dont 42, sont exceptionnellement rares.

Le nombre 42 est la somme des deux premières puissances entières non nulles de six, c'est-à-dire 61 + 62 = 42. La séquence b (n), qui est la somme des puissances de six, correspond à l'entrée A105281 dans OEIS. Il est défini par les formules b (0) = 0, b (n) = 6b (n – 1) + 6. La densité de ces nombres tend également vers zéro à l'infini.

Quarante-deux est un nombre catalan. Ces nombres sont extrêmement rares, bien plus que les nombres premiers: seuls 14 des premiers sont inférieurs à un milliard. Les nombres catalans ont été mentionnés pour la première fois, sous un autre nom, par le mathématicien suisse Leonhard Euler, qui voulait savoir de combien de façons différentes un polygone convexe à n côtés pouvait être coupé en triangles en reliant des sommets à des segments de ligne. Le début de la séquence (A000108 dans OEIS) est 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132 …. Le nième élément de la séquence est donné par la formule c (n) = (2n) ! / (n ! (n + 1) ! ). Et comme les deux séquences précédentes, la densité des nombres est nulle à l'infini.

Les nombres catalans portent le nom du mathématicien franco-belge Eugène Charles Catalan (1814-1894), qui découvrit que c (n) est le nombre de façons d'arranger n paires de parenthèses selon les règles habituelles pour les écrire: une parenthèse n'est jamais fermée avant qu'il ne soit ouvert, et on ne peut le fermer que lorsque toutes les parenthèses qui ont été ouvertes par la suite sont elles-mêmes fermées.

Par exemple, c (3) = 5 car les arrangements possibles de trois paires de parenthèses sont:

((())); () () (); (()) (); (() ()); () (())

Quarante-deux est également un nombre « pratique », ce qui signifie que tout entier compris entre 1 et 42 est la somme d'un sous-ensemble de ses diviseurs distincts. Les premiers numéros pratiques sont 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66 et 72 (séquence A005153 dans OEIS). Aucune formule simple connue ne fournit le nième élément de cette séquence.

Tout cela est amusant, mais il serait faux de dire que 42 est vraiment quelque chose de spécial mathématiquement. Les nombres 41 et 43, par exemple, sont également des éléments de nombreuses séquences. Vous pouvez explorer les propriétés de divers nombres sur Wikipedia.

Ce qui rend un nombre particulièrement intéressant ou inintéressant, c'est une question que le mathématicien et psychologue Nicolas Gauvrit, l'informaticien Hector Zenil et moi-même avons étudiée, en commençant par une analyse des séquences dans l'OEIS. Outre un lien théorique avec la complexité de Kolmogorov (qui définit la complexité d'un nombre par la longueur de sa description minimale), nous avons montré que les nombres contenus dans l'encyclopédie de Sloane pointent vers une culture mathématique partagée et, par conséquent, que l'OEIS est basé sur beaucoup sur les préférences humaines comme pure objectivité mathématique.

Problème de la somme de trois cubes

Les informaticiens et les mathématiciens reconnaissent l'attrait du nombre 42, mais ont toujours pensé que c'était un jeu simple qui pouvait être joué aussi bien avec un autre numéro. Pourtant, une nouvelle récente a attiré leur attention. Lorsqu'il a été appliqué au problème de la « somme de trois cubes », 42 était plus gênant que tous les autres nombres inférieurs à 100.

Le problème est posé comme suit: Quels entiers n peuvent être écrits comme la somme de trois cubes entiers (n = a3 + b3 + c3) ? Et pour de tels entiers, comment trouvez-vous a, b et c ? En pratique, la difficulté de faire ce calcul est que pour un n donné, l'espace des triplets à considérer implique des entiers négatifs. Cet espace des triplets est donc infini, contrairement au calcul de la somme des carrés. Pour ce problème particulier, toute solution a une valeur absolue inférieure à la racine carrée d'un n donné. De plus pour la somme des carrés, on sait parfaitement ce qui est possible et impossible.

Pour la somme des cubes, certaines solutions peuvent être étonnamment volumineuses, comme celle de 156, découverte en 2007:

156 = 26,577,110,807,5693 + (−18,161,093,358,005) 3 + (−23,381,515,025,762) 3

Notez que pour certaines valeurs entières de n, l'équation n = a3 + b3 + c3 n'a pas de solution. Tel est le cas pour tous les nombres entiers n qui peuvent être exprimés en 9m + 4 ou 9m + 5 pour tout entier m (par exemple, 4, 5, 13, 14, 22, 23). La démonstration de cette assertion est simple: nous utilisons le calcul « modulo 9 » (mod 9), ce qui équivaut à supposer que 9 = 0 puis à ne manipuler que les nombres entre 0 et 8 ou entre −4 et 4. Lorsque nous le faisons, nous regarde ça:

03 = 0 (mod 9); 13 = 1 (mod 9); 23 = 8 = –1 (mod 9); 33 = 27 = 0 (mod 9); 43 = 64 = 1 (mod 9); 53 = (–4) 3 = –64 = –1 (mod 9); 63 = (–3) 3 = 0 (mod 9); 73 = (–2) 3 = 1 (mod 9); 83 = (–1) 3 = –1 (mod 9)

En d'autres termes, le cube d'un entier modulo 9 est –1 (= 8), 0 ou 1. L'addition de trois nombres parmi ces nombres donne:

0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + (–1); 1 = 1 + 0 + 0 = 1 + 1 + (–1); 2 = 1 + 1 + 0; 3 = 1 + 1 + 1; 6 = –3 = (–1) + (–1) + (–1); 7 = –2 = (–1) + (–1) + 0; 8 = –1 = (–1) + 0 + 0 = 1 + (–1) + (–1)

Vous ne pouvez pas obtenir une somme de 4 ou 5 (= –4). Cette restriction signifie que les sommes de trois cubes ne sont jamais des nombres de la forme 9m + 4 ou 9m + 5. On dit ainsi que n = 9m + 4 et n = 9m + 5 sont des valeurs interdites.

Recherche de solutions

Pour illustrer à quel point il est difficile de trouver des solutions à l’équation n = a3 + b3 + c3, voyons ce qui se passe pour n = 1 et n = 2.

Pour n = 1, il y a la solution évidente:

13 + (–1) 3 = 1

Y en a-t-il d'autres ? Oui il y a:

(–6) 3 + (–8) 3 = 729 + (–216) + (–512) = 1

Ce calcul n'est pas la seule autre solution. En 1936, le mathématicien allemand Kurt Mahler en proposa un nombre infini. Pour tout entier p:

(9p4) 3 + (3p – 9p4) 3 + (1 – 9p3) 3 = 1

Cette proposition peut être prouvée en utilisant l'identité remarquable:

(A + B) 3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

Un ensemble infini de solutions est également connu pour n = 2. Il a été découvert en 1908 par le mathématicien A. S. Werebrusov. Pour tout entier p:

(6p3 + 1) 3 + (1 – 6p3) 3 + (–6p2) 3 = 2

En multipliant chaque terme de ces équations par le cube d'un entier (r3), nous en déduisons qu'il existe également une infinité de solutions pour le cube et le double du cube de tout entier.

Prenons l'exemple de 16, qui est le double du cube de 2. Pour p = 1, on obtient:

(–10) 3 + (–12) 3 = 16

À noter que pour n = 3, en août 2019, seules deux solutions étaient connues:

13 + 13 = 3; 43 + 43 + (–5) 3 = 3

Une question qui suit naturellement est: Y a-t-il au moins une solution pour chaque valeur non interdite ?

Ordinateurs au travail

Pour répondre à cette question, les mathématiciens ont commencé par prendre les valeurs non interdites 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16 … (A060464 dans OEIS) et les examiner une par une. Si des solutions peuvent être trouvées pour toutes ces valeurs examinées, il sera raisonnable de supposer que pour tout entier n qui n'est pas de la forme n = 9m + 4 ou n = 9m + 5, il existe des solutions à l'équation n = a3 + b3 + c3.

Les recherches menées jusqu'à présent, qui dépendent de la puissance des ordinateurs ou des réseaux informatiques utilisés, ont produit un corpus de résultats en constante expansion. Cet ouvrage nous ramène au célèbre et intrigant numéro 42.

En 2009, utilisant une méthode proposée par Noam Elkies de l'Université de Harvard à[[OU: par le mathématicien américain Noam Elkies en 2000, les mathématiciens allemands Andreas-Stephan Elsenhans et Jörg Jahnel ont exploré tous les triplets a, b, c d'entiers avec une valeur absolue inférieure à 1014 pour trouver des solutions pour n entre 1 et 1000. Le document faisant état de leurs conclusions concluait que la question de l'existence d'une solution pour les nombres inférieurs à 1000 restait ouverte uniquement pour 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 et 975. Pour les nombres entiers inférieurs à 100, il ne restait que trois énigmes: 33, 42 et 74.

Dans un article de pré-impression de 2016, Sander Huisman, maintenant à l'Université de Twente aux Pays-Bas, a insisté et a trouvé une solution pour 74:

(–284,650,292,555,885) 3 + (66,229,832,190,556) 3 + (283,450,105,697,727) 3

En 2019, Andrew Booker de l'Université de Bristol en Angleterre a réglé le cas de 33:

8 866 128 975 287 528) 3 + (–8 778 405 442 862 239) 3 + (–2 736 111 468 807 040) 3

À partir de là, le nombre de Douglas Adams était le dernier entier positif inférieur à 100 dont la représentation sous forme de somme de trois cubes entiers était inconnue. S'il n'y avait pas de solution, cette conclusion fournirait une justification véritablement convaincante de la signification mathématique de 42: ce serait le premier nombre pour lequel une solution semble possible mais aucune n'a été trouvée. Les ordinateurs ont essayé mais n'ont pas réussi à résoudre le problème.

La réponse est venue dans une pré-impression 2020, le résultat d'un énorme effort de calcul coordonné par Booker et Andrew Sutherland du Massachusetts Institute of Technology. Les ordinateurs participant au réseau d'ordinateurs personnels Charity Engine, calculant l'équivalent de plus d'un million d'heures, ont montré:

42 = (–80,538,738,812,075,974) 3 + 80,435,758,145,817,5153 + 12,602,123,297,335,6313

Les cas 165, 795 et 906 ont également été résolus récemment. Pour les nombres entiers inférieurs à 1 000, seuls 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 et 975 restent à résoudre.

L'hypothèse selon laquelle des solutions existent pour tous les nombres entiers n qui ne sont pas de la forme 9m + 4 ou 9m + 5 semble être confirmée. En 1992, Roger Heath-Brown, de l’Université d’Oxford, a proposé une conjecture plus forte affirmant qu’il existe une infinité de façons d’exprimer tous les n possibles comme la somme de trois cubes. Le travail est loin d'être terminé.

La difficulté semble si décourageante que la question « N est-il une somme de trois cubes ? » peut être indécidable. En d'autres termes, aucun algorithme, aussi intelligent soit-il, ne peut traiter tous les cas possibles. En 1936, par exemple, Alan Turing a montré qu'aucun algorithme ne peut résoudre le problème d'arrêt pour chaque programme informatique possible. Mais nous sommes ici dans un domaine purement mathématique facilement descriptible. Si nous pouvions prouver une telle indécidabilité, ce serait une nouveauté.

Le numéro 42 était difficile, mais ce n'est pas la dernière étape !

Cet article a été initialement publié dans Pour la Science et a été reproduit avec permission.

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